2D旋转矩阵与变换矩阵

有必要搞清楚旋转矩阵与变换矩阵的定义和两者之间的关系。

转自参考

旋转矩阵

假设一个地面坐标系，其两个正交基底为{$\bf{E_xE_y}$}。另外，有一艘战舰，固定在上面的一组正交基向量为{$\bf{e_1e_2}$}。

如上图所示，一开始战舰的机体坐标系和地面坐标系的方向一致，因此有 $\bf{e_1}=1\dot \bf{E_x}+0 \dot \bf{E_y}\\ \bf{e_2}=0\dot \bf{E_x}+1 \dot \bf{E_y}\\ \Rightarrow \bf{e_1}=(1,0)^T\\ \Rightarrow \bf{e_2}=(0,1)^T\\$ 由此可见，战舰机体坐标系的两个基向量$\bf{e_1}$和$\bf{e_2}$在地面坐标系中的坐标分别为$(1,0)^T$和$(0,1)^T$.

接下来，假设战舰逆时针旋转了$\frac{\pi}{6}$，如下图所示，战舰机体坐标系的不再与地面坐标系保持一致。

那么就有要问：旋转后机体坐标系的基向量(记作$\bf{\tilde e_1}$和$\bf{\tilde e_2}$)在地面坐标系下的坐标变成了多少？

根据几何关系，可知： $\bf{\tilde e_1}=cos(\pi/6)\dot \bf{E_x}+sin(\pi/6) \dot \bf{E_y}\\ \bf{\tilde e_2}=-sin(\pi/6)\dot \bf{E_x}+cos(\pi/6) \dot \bf{E_y}\\ \Rightarrow \bf{\tilde e_1}=(cos(\pi/6),sin(\pi/6))^T\\ \Rightarrow \bf{\tilde e_2}=(-sin(\pi/6),cos(\pi/6))^T$ 进一步，在旋转前后坐标之间的关系可以写成如下形式： $\bf{R}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos (\pi /6)}&{ - \sin (\pi /6)}\\ {\sin (\pi /6)}&{\cos (\pi /6)} \end{array}} \right]\\ \bf{\tilde e_1}=R \bf{ e_1}\\ \bf{\tilde e_2}=R \bf{ e_2}\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bf{\tilde e_1}}&{\bf{\tilde e_2}} \end{array}} \right]=R \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bf{ e_1}}&{\bf{ e_2}} \end{array}} \right] \tag{1}\label{eq:one}$ 其中，$\bf{R}$定义为旋转矩阵，相反地，$\bf{e_1}=R^{-1} \bf{\tilde e_1}$.

小结：

旋转矩阵$\bf{R}$指的是，在一个坐标系基底下，同一个向量经过旋转后的新坐标与旋转前的旧坐标之间的变换关系，即新的坐标等于旧的坐标左乘一个旋转矩阵。

变换矩阵

接着上面，我们来看一个变换矩阵的例子。

如果这个时候我方的一颗卫星发现了一艘敌舰$\bf P$，并测得其在地面坐标系下的坐标为$(1,\sqrt{3})$，即 $\bf{P_E}=E_x+\sqrt{3}E_y=(E_x,E_y)\cdot(1,\sqrt{3})^T$ 但是，为了便于战舰观察，我们需要将敌舰$\bf P$的坐标转换到以战舰为基底的坐标系下，即写成这种形式：$\bf{P_E}=(\tilde e_1,\tilde e_2)\cdot(x,y)^T $，其中$x,y$即为要求的坐标。

在3D空间中，敌舰$\bf P$的位置是唯一的，这跟选择哪一个坐标系没有关系，因此有下面的等式： $\bf{P_E}=(E_x,E_y)\cdot(1,\sqrt{3})^T=(\tilde e_1,\tilde e_2)\cdot(x,y)^T=R\cdot(E_x,E_y)\cdot(x,y)^T\\ \because (E_x,E_y)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\0&1 \end{array}} \right]=I\\ \therefore \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x}\\{y} \end{array}} \right]=R^{-1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1}\\{\sqrt{3}} \end{array}} \right]$ 由此可知， $\bf{P_e}=TP_E=R^{-1}P_E$ 其中，$\bf{T}$定义为左边变换矩阵。

小结：

同一个向量在两个不同坐标系下的坐标是不一样的，因此变换矩阵$\bf{T}$就是用于实现不同坐标之间的变换。根据上面的例子可知，旋转矩阵和变换矩阵是互逆矩阵(或者转置矩阵)。